Пробный шар (устар.) - о каком-либо поступке, приеме, являющемся попыткой выяснить что-либо. Существуют две версии этимологии: 1) оборот взят из лексикона бильярдистов. Хорошие игроки дают иногда партнеру пробный шар, т. е. подставляют шар так, что его сравнительно легко положить в лузу; 2) выражение является калькой с фр. ballon d'essai и восходит к  практике запуска пробных возушных шаров перед запуском шаров с людьми.

...Пробный шар (устар.) - о каком-либо поступке,...

§ 22. После ц для передачи ударного гласного о пишется буква о, для передачи ударного э — буква е, напр.: цокать, цоколь, танцор, танцовщица, вытанцовывать, облицовка, пунцовый, лицо, лицом, огурцом, огурцов, овцой; ценный, целый, це (название буквы), цеце (муха), овце, об отце. § 23. В безударном положении после ц пишется буква е — в соответствии как с ударным э, так и с ударным о, напр.: а) цена´ (ср. це´ны), цеди´ть (це´дит), цензу´

...§ 22. После ц для передачи ударного гласного...

Аника-воин (ирон.) – о хвастливом человеке, бахвалящемся своей храбростью лишь находясь вдали от опасности. Выражение связано с народной поговоркой Аника-воин сидит да воет, в которой имя избрано не случайно: греч. а – «не», nike – «победа». Видимо, поэтому была сложена сказка «про воина Анику», где герой хвастается, что не боится Смерти, а когда она вдруг появляется перед ним, начинает трусить и умолять о прощении.

...Аника-воин (ирон.) – о хвастливом человеке, бахвалящемся...

Семи пядей во лбу – об очень умном человеке. Выражение возникло на основе френологических представлений о том, что по высоте лба можно судить об умственных способностях человека. Cтаринная мера длины пядь равнялась расстоянию между концами растянутых большого и указательного пальцев (меньшая пядь) или большого и среднего пальцев (большая пядь). Выражение основано на гиперболе, поскольку человек семи пядей во лбу должен был бы иметь лоб высотой около полутора метров.

...Семи пядей во лбу – об очень умном...

Вопрос Есть ли разница в употреблении глаголов достигнуть и достичь? В русском языке встречаются двоякие формы инфинитивов нескольких глаголов: с формантами -бегнуть (напр., избегнуть - избечь)  с формантами -стигнуть (напр., достигнуть - достичь) глагола стынуть - стыть. В современном литературном языке вариативны только последние два форманта. Причем среди приставочных глаголов с корневой морфемой стыть сегодня уже не имеет ...

...Вопрос Есть ли разница в употреблении глаголов ...

При соединении морфем в слове могут быть использованы незначимые соединительные элементы, называемые в лингвистике интерфиксами. Основным видом интерфиксов являются соединительные элементы, используемые при образовании сложных слов: -о- (сам-о-лет), -е- (пол-е-вод), -ух- (дв-ух-этажный), -ёх- (тр-ех-этажный), -и- (пят-и-этажный). Такие соединительные гласные на стыке корней не являются морфемами в общепринятом понимании (хотя ряд ученых-лингвистов считает их морфемами с особым, соединительным ...

...При соединении морфем в слове могут быть использованы...

Выдать на-гора – предъявить сделанную работу, произвести какую-либо продукцию. Прямое значение выражения: поднять на поверхность из шахты. Оборот возник в речи шахтеров, где  слово гора имеет значение 'рудник, верхняя поверхность шахты'. Это связано с древней семантикой слова гора,  которое в древнерусском языке значило 'сверху, наверху'. Непривычное сочетание предлога на с именительным падежом существительного (вместо ...

...Выдать на-гора – предъявить сделанную работу...

Ни аза в глаза [не знать, видеть, смыслить]  (шутл.) - не знать абсолютно ничего, даже самых простых вещей. Возникновение фразеологизма связано с местом буквы А, начинающей русский алфавит и произносившейся раньше при обучении грамоте как "аз". Аз стал символом начала, основ знаний, так как это первая буква церковнославянской азбуки, по которой обучали грамоте. Не знать даже первой, самой простой в произношении и написании буквы алфавита стало фразеологическим символом абсолютного ...

...Ни аза в глаза [не знать, видеть, смыслить]  (...

Отложить в долгий ящик - оттягивать исполнение какого-либо дела на неопределенное время. Существует несколько вариантов происхождения фразеологизма: 1) выражение восходит к временам царя Алексея Михайловича, перед его дворцом был прибит ящик для челобитных, эти челобитные разбирались боярами и дьяками, многие оставались без ответа; 2) в долгий ящик письменного стола откладывались в российских канцеляриях самые незначительные и неспешные ходатайства и жалобы. Возможно, это калька с ...

...Отложить в долгий ящик - оттягивать исполнение...

Третий Рим - образное название Московского государства. Московское государство в XV-XVII веках считалось духовным наследником Византии, так как из Византии Русь приняла православие, а русские цари венчались на царство по византийскому обряду. Как известно, после распада Римской империи Византию называли Вторым Римом. Итак, Первый Рим - Римская империя, Второй Рим - Византия, а Третий Рим - Московское государство. Это торжественное название (сравнение с самым мощным античным государством) ...

...Третий Рим - образное название Московского государства...