Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3).
Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан.
В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.
Поскольку оба названия имеют в дательном падеже одну и ту же форму, определить затруднительно.
Правильно с прописной (большой) буквы.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Такое сочетание возможно, но только в разговорной речи.
Правильно: во Фрунзенском районе. Перед формами слов, начинающимися сочетаниями «в, ф + согласная», последовательно выступает предлог во (ср.: во вторник, во Франции). Написание в данном случае отражает произношение.