"Словарь имен собственных" Ф. Л. Агеенко предлагает написание со строчной буквы. Думаем, дело в обычном словарном разночтении.

В таких случаях вступает в силу правило, гласящее: недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов. В этих случаях слитные или дефисные написания, рекомендуемые основными правилами, должны заменяться раздельными. Поэтому правильно: недо де Голль. Ср.: псевдо Ван Гог.

Орфографически корректно: Иль-де-Ботэ.

Деприватизация = расприватизация.

Общее правило таково: служебные слова, входящие в состав западноевропейских фамилий (ван, де, делла, ла, фон и т. п.), пишутся со строчной буквы, например: Лопе де Вега, Оноре де Бальзак, Шарль де Голль. Однако в некоторых именах служебные слова традиционно пишутся с прописной буквы. Правильно: Роберт Де Ниро.

Название велогонки не склоняется.

Да.