Словарная фиксация: шредер.
В практику речи вошел вариант Бернард Шоу. Он и зафиксирован словарями. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имен русского языка. М., 2010.
Правильно: Уничтожение документов путём измельчения в шредере.
Нет, кавычки не требуются.
Оба подхода имеют право на существование; так, оба встречаются в словарях русского языка. Главное - последовательная реализация.