Допускается написание со строчной буквы, в кавычках.
Маша, выполните домашнее задание самостоятельно. Обратитесь за помощью к учебнику Е. И. Литневской.
Оба варианта правильны: и шел снег, и падал снег.
Правильно: по грЯзи.
Запятая ставится.
Запятые не нужны. Первая запятая не ставится на основании правила: деепричастный оборот не обособляется, если перед ним стоит усилительная частица и. Вторая запятая не ставится, т. к. не отделяется запятой придаточное предложение, состоящее из одного только союзного слова.
Запятая нужна во втором примере; в первом примере корректно без запятой.
Не все.