Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Корректно: ОСП. Инициальные аббревиатуры (то есть аббревиатуры, образованные из начальных букв каждого слова, входящего в полное название) пишутся прописными буквами. Исключения: вуз, втуз, дот, дзот. Аббревиатуры нэп и загс имеют варианты написания НЭП и ЗАГС.
Верно: испугался осы.
Лучше следовать рекомендациям орфографического словаря и писать Шаббат.
Предпочтительно: государственный советник Мария Гайдар утверждала.
Такое сочетание неудачно.
Такие аббревиатуры склонять не следует: сотрудники ОСА, сотрудники подразделения ОСА.
Все эти мужские фамилии склоняются.