Сочетание черный юмор корректно писать без кавычек.
В названии склоняются обе части. Об этом можно узнать из словарей ресурса «Проверка слова».
Нет, двоеточие не требуется.
Верно: в Бабьем Яре.
Сочетание черный вход неупотребительно, при этом есть служебный вход.