О сроке, периоде: с первого по шестое января.
Предпочтительно: прожила добрые (добрых) четверть века.
Верен первый вариант.
Да, все верно.
Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Корректно: начало – третья четверть ХХ в.
См. в «Письмовнике».