Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
Корректно: Патентный поверенный Иваневская Элеонора Вячеславовна предложила подходящее решение.
Если подлежащее выражено личным местоимением, тире обычно не ставится.
Пунктуация верна.
Это не вводная конструкция. Однако этот оборот обособляется, если имеет значение причины ("так как он был честным человеком, он рассказал...").
Прилагательное поваренный используется в значении 'относящийся к приготовлению пищи' и имеет довольно узкую сочетаемость (поваренная книга, поваренная соль, поваренное искусство). Прилагательное кухонный используется в значении 'имеющий отнощение к кухне: помещению с печью (плитой) для приготовления пищи'.
Обособление нужно, так приложение с как имеет дополнительное значение причины.