Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
Если подлежащее выражено личным местоимением, тире обычно не ставится.
Пунктуация верна.
Прилагательное поваренный используется в значении 'относящийся к приготовлению пищи' и имеет довольно узкую сочетаемость (поваренная книга, поваренная соль, поваренное искусство). Прилагательное кухонный используется в значении 'имеющий отнощение к кухне: помещению с печью (плитой) для приготовления пищи'.
Это не вводная конструкция. Однако этот оборот обособляется, если имеет значение причины ("так как он был честным человеком, он рассказал...").
Обособление нужно, так приложение с как имеет дополнительное значение причины.
Предлагаем воспользоваться словарем антонимов в окне «Искать на Грамоте».