Вы правы. Есть правило: названия частей государств и континентов, носящие терминологический характер, пишутся с прописной буквы: Западная Европа, Средняя Азия, Центральная Америка. Но нет оснований для написания с прописной слова зарубежный в сочетании зарубежная Европа: это не терминологическое понятие, а некое наше условное обозначение всех европейских стран, кроме России.
Верно: Северная и Южная Америка.
Корректно: ...не открою Америку.
Также с большой.
Корректно: не открою Америку.
Правильно: Северная и Южная Америка.
Корректно: Центральная Арктика.
Верно: пол Северной Америки.
Склоняются обе части прозвища.
Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.