Правильно склонять (как в первом варианте). Подробнее см. в «Письмовнике».

Правильно: играть в бильярд (= играть в игру); играть на бильярде (= на столе). См. подробно в «Словаре трудностей».

Мужская фамилия Атанесян склоняется, женская – нет. Правильно: тетрадь Атанесяна Николая (но: тетрадь Атанесян Марии).

Противоречия не видим. Использование формы единственного числа глагола-сказуемого при согласовании с существительным миллиард носит рекомендательный характер. Форма множественного числа в этом случае тоже возможна: Миллиард людей улучшили качество жизни.
В предложении Миллиард людей, которые улучшили качество жизни... придаточное предложение относится к существительному люди, поэтому и союзное слово которые употреблено в форме множественного числа.
Это верно как по смыслу, так и грамматически. 
 

Правильно: Николай-угодник.

Верно: монастырь Святого Николая.

Верно: на нем говорит примерно миллиард человек.

Мужская фамилия Глух склоняется: Сегодня с нами нет Николая Петровича Глуха.

Правильно без запятой.