Приведенный пример корректен.
Одна С осталась от основы, другая С образует суффикс -ск.
Употребление этих слов аналогично употреблению слов финский и финляндский, см. ответ № 237226.
Выбрать нужно второй вариант, он соответствует фиксации в академическом орфографическом словаре. Но первый ошибочным не будет.
Верно: казахский музей-юрта (по аналогии с музей-квартира).
Прилагательное кожаный пишется с одним н в любом значении.
Употребление этих слов аналогично употреблению слов финский и финляндский, см. ответ № 237226.
У названия этого государства два варианта произношения: Катар (официальный) и Катар (общепринятый). Соответственно возможны варианты (и они фиксируются словарями) катарский и катарский. Словарная статья в «Проверке слова» исправлена в соответствии с данными 4-го издания «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2012).