В «Полном церковнославянском словаре» Г. Дьяченко указано: «Уха́ти — 1) посредством чувства обоняния стараться узнать свойства запаха; 2) втягивать что-нибудь в ноздри; 3) (прост.) любопытствовать, разведывать о чем-либо».

Корректно: напишите личное сообщение; хочу узнать результат опроса / результаты опроса.

Вы совершенно правы в том, что названные термины должны писаться одинаково, поскольку они семантически и структурно однотипны. Непонятно, на основании каких статистических данных сделан вывод о том, что второй термин чаще пишется через дефис. К сожалению, в Национальном корпусе русского языка они не встречаются, а Яндекс в подборке регулярно (хотя и не без исключений) выдает слитное написание для обоих. Такое написание и следует для них порекомендовать.

Выражение во что бы то ни стало не требует выделения запятыми.

Корректно: Позвольте узнать: служить изволите? Это сложное бессоюзное предложение, первая часть которого является с логической точки зрения главной по отношению ко второй части: позвольте узнать (о чем?).

Действительно, между этими двумя рекомендациями есть некоторое противоречие. Однако обратим внимание, что во второй группе примеров все дефисные конструкции стоят на втором месте, т. е. выполняют функцию определения. В первой группе примеры различаются: студент-медик — альпинист имеет обратный порядок компонентов, а оставшиеся два — такой, как в предыдущей группе. Это может иметь значение, поскольку альпинист здесь является приложением к конструкции с приложением (медик), а это требует паузы при произнесении и постановки знака тире. В остальных случаях, на наш взгляд, тире можно не ставить.

Добавим, что за разъяснениями приведенного Вами правописного решения Вы можете обратиться непосредственно к авторам «Русского правописания с комментариями» (их электронные адреса есть на сайте Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН в разделе «Сотрудники») и всё узнать, так сказать, из первых рук.

Пояснительный оборот отделяется с помощью тире: Можно узнать, каким именно будет человек — добрым или злым.

Во всех случаях форма единственного числа вполне уместна.

У слова гора было значение ‘верх’. Отсюда наречие горе́ ‘вверх’, слова горний ‘находящийся в вышине’, горница ‘комната в верхнем этаже’. Тем самым идти в гору значит ‘двигаться вверх’. Переносное значение выражения лезть в гору ‘добиваться благополучия, служебного продвижения’ фиксируется в XVIII веке. Более позднее распространение фразеологизма идти в гору В. В. Виноградов связывал с проникновением его в разговорную речь из карточного жаргона. Подробнее см. в статье Виноградова.

В «Большом словаре русских поговорок» В. М. Мокиенко и Т. Г. Никитиной (М: Олма Медиа Групп, 2007) зафиксировано выражение ни хаты ни лопаты (у кого. Волг. Шутл.-ирон. О крайней бедности). Вероятно, выражение ни хаты ни ваты, о котором Вы упоминаете, является одним из поздних вариантов (заимствование вата появилось в русском языке только в XVIII в.).