Названия «Инстаграм» и «Телеграм» без родового слова употребляются как существительные мужского рода и изменяются по второму склонению.
Название приложения уместно заключить в кавычки.
Правильно: 142 входящие телеграммы.
Возможны оба варианта — ровно так же, как правильно и сюжет в телепередаче, и сюжет по телевидению.
Норма употребления для слова Телеграм не установлена, но полагаем, что склонение его в русском языке вполне закономерно: в Телеграме.
Это противоречит правилам русского языка.
Названия интернет-сервисов пишутся с прописной буквы, в кавычках: "Твиттер", "Инстаграм" и т. д. При этом возможно написание строчными буквами без кавычек при употреблении этих наименований в разговорной речи.
Название приложения "Телеграм" пишется с одной буквой м.