Мужская фамилия Регнер склоняется.
Ваше наблюдение верное: предложное сочетание тренер по (чему-либо) включает существительное, обозначающее вид спортивной деятельности. Очевидно, что выражение тренер по вратарям к такому ряду номинаций не относится. По сравнению с ним, словосочетание тренер вратарей и в смысловом, и в грамматическом отношении совершенно корректно. Однако это словосочетание не передает ясно и отчетливо ту идею, какая объединяет сочетания с предлогом по, — идею специализации тренеров, их профессионального деления с учетом конкретной практики. При необходимости обозначить специализацию (важный аспект в профессиональной коммуникации) выручают нестандартные обороты, такие как тренер по вратарям (ср. также в бизнес-среде тренер по персоналу).
Корректно: тренер по...
Эти слова есть в электронных словарях ГРАМОТЫ.РУ (форма "Искать на Грамоте").
В принципе эти слова имеют синонимичные значения. Но в значении "полное отсутствие света" употребляется только слово тьма.
Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.
Это, скорее всего, наречие. Но для однозначного ответа нужен более полный контекст.
