Условно говоря, это прилагательное.
Во-первых, потому что слово так освоилось в русском языке. Во-вторых, правильно = это словарная рекомендация.
Нет, не согласны. В состав имен прилагательных входят неизменяемые слова иноязычного происхождения, называющие признак, такие как бордо (цвет бордо), клеш (брюки клеш), хаки (костюм хаки), пик (час пик), фри (картофель фри) и др. (Об этих словах см. § 1328 академической «Русской грамматики» 1980 года.) Семантически (название признака), морфологически (неизменяемость), синтаксически (функция определения) к этим словам близко слово табака, поэтому следует считать его прилагательным.
Все эти названия условные, их нужно заключать в кавычки.
Без слова театр здесь не обойтись. Корректно: актер работает в Театре на Таганке.
Форма множественного числа сказуемого корректна.
Верно: банка спрайта (в разговорной речи при упоминании напитка) и банка "Спрайта" (при указании на торговую марку).
Табака и табаку – формы родительного падежа. Ударение по техническим причинам было не указано. Исправлено. Спасибо, что заметили неточность!