Корректно: Так сыграть бы на дорожку? <...> В чем же дело? Чья гармошка?

Как можно судить по свидетельствам в интернет-источниках, выражение играть на побитка используют, когда говорят о спортивной игре, в которой победитель очередной партии остается на поле «боя» и соревнуется с новым соперником.

В переводах на русский язык сказки Г. Х. Андерсена слово русалочка обычно пишется со строчной буквы как нарицательное существительное. Главная героиня — одна из шести принцесс-русалочек: Все шесть принцесс были прехорошенькими русалочками, но лучше всех была самая младшая, нежная и прозрачная, как лепесток розы, с глубокими, синими, как море, глазами. Но и у нее, как у других русалок, не было ножек, а только рыбий хвост. Чтобы выделить главную героиню, в тексте используется нарицательное существительное с указательным местоимением: Странное дитя была эта русалочка: такая тихая, задумчивая... 

Автор и переводчик могут использовать нарицательное существительное в качестве имени персонажа, но в этом случае оно вводится в текст как имя собственное. Например, в баснях И. А. Крылова, герои сразу появляются под своими именами: 

Проказница-Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.

Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать-было совсем уж собралась,
Да позадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду Лиса близехонько бежала...

В научных работах об орфографии собственных имен отмечается, что при упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться. Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, и тогда правомерно написание Мертвая царевна. В сказке Шарля Перро «Кот в сапогах» действует герой кот (кот спустился с крыши, но кот – на то ведь он и кот – погнался за ней [мышью]), и только в других текстах при отсылке к этой сказке ее герой именуется Кот в сапогах (Арутюнова Е. В., Бешенкова Е. В., Иванова О. Е. Русское правописание с комментариями (в 4-х кн.). Книга 4. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Графические сокращения. М., 2023).

Правилен второй вариант. 

Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.

Корректное пунктуационное оформление: Путешествия, сыгранные как по нотам. Вызывает вопросы корректность сочетания сыграть путешествия.

Предложение построено верно.

Глагол отгрохать не имеет соответствующего глагола несовершенного вида. То есть оба варианта неверны.

Глаголов, не имеющих видовой пары, довольно много, например: написать, сыграть, поцеловать, состояться.

Пунктуация верна. Сочетание "мнение может сыграть с разумом" небезупречно.

Предложение построено неудачно. Можно разбить его на два и во второе вставить дополнение, например, так: Чтобы победить в финале, нужно в этот вечер сыграть лучше соперника. И конечно же, команде не обойтись без удачи.

Во втором предложении пунктуация верна.