Франциско Костой и Коста.
Это слово пишется строчными буквами.
В первом случае лучше не склонять: в поселке Суар. Во втором случае название склоняется: в поселке Тарловке.
Здесь верно: Папа Римский; папа Франциск.
Верно: обучалась в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины, являюсь членом общественного объединения.