Корректно: Дорога Мужества: Старый Оскол — Ржава.
Правила склонения названий с сокращением г. соответствуют правилам склонения названий со словом город. Поскольку разные специалисты дают разные рекомендации для названий вроде Старый Оскол (подробнее см. в "Письмовнике"), следует сделать вывод, что допустимы и склоняемый, и несклоняемый вариант.
Верно: в городе Москве; УМВД по г. Старый Оскол.
Подробный ответ см. в «Письмовнике».
Верно: в городе Старом Осколе.