Кавычки нужны.
Корректно: диагноз «сахарный диабет».
Слова из песни на стихи Е. Винокурова: «Но помнит мир спасенный...»
Вызывает большие сомнения сама формулировка, то есть возможность сочетания на редкость (не)смазанный. Что-либо может быть либо смазанным, либо несмазанным, без каких бы то ни было градаций.
Корректно: Он принял имя Моисей, что значит «спасенный».
Общеупотребительно выражение спаренный телефон.
Правильно: скачанный фильм.