Если носитель фамилии настаивает на несклонении, то, конечно, нужно прислушаться к его мнению. Но это вовсе не означает, что "фамилия не склоняется".

Фамилию Соткилава нужно склонять – и мужскую, и женскую.

Все эти фамилии склоняются: преступления Берии, в исполнении Соткилавы, передать Балтаче.

Согласно грамматическим нормам русского языка фамилия Соткилава склоняется (и мужская, и женская). Не могли бы Вы указать выходные данные хотя бы одного из тех словарей, в которых утверждается обратное?

Допустимы все три варианта. Они отражают разную интонацию при произнесении. 

Это имя не склоняется. Форма дательного падежа будет совпадать с формой именительного падежа: Зураа.

Верно с дефисом.

Правильное управление таково: навязнуть в зубах у кого-то. Верно: давно навязло у всех в зубах.