Предпочтителен первый вариант.
Правильно: городского округа Реутов.
Названия зарубежных административно-территориальных единиц обычно не согласуются с родовыми наименованиями: глава администрации округа Лимасол.
Правильно: главе городского округа Краснознаменск Московской области.
Лучше всего: при содействии администрации Воронежа.
У местоимения его род не определяется.
Запятая нужна: Библиотека, достойная округа.
Если речь идет не о действии, а о группе лиц, то верно: командование Южного военного округа.