Запятая перед союзом и в этом предложении не нужна, т. к. союз соединяет однородные сказуемые. В диктанте правильным признается вариант без запятой.
Да, это приложение. Корректно: Приклей одному клоуну помощника-собачку, а другому – воздушный шар.
Притяжательного падежа в русском языке нет, но есть притяжательные прилагательные – прилагательные, обозначающие принадлежность предмета определенному лицу или животному. Это и есть такие слова, как собачкин, кошкин, мамин, отцов и т. д. Сочетания собачкин дом, мамино пальто правильны.
Правильно: собачьи приюты.