Запятая стоит верно. Определительный оборот выделяется запятыми, если он отделен от определяемого слова другими членами предложения.
Корректно: политологи ломают голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Если рассматривать это предложение как простое с двумя сказуемыми, то с помощью тире выделена пояснительная конструкция. Впрочем, предложение можно считать и бессоюзным сложным (вторая часть представляет собой односоставное определенно-личное предложение).
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
В таких случаях используется форма единственного числа: У них болит голова, у них болит горло.
Форма множественного числа существительного горло образуется способом, стандартным для существительных среднего рода на -о: горла. Сравним: сёла (от село), средства (от средство).
Здесь нет уточняющего оборота, запятые не требуются.
Для постановки запятых в этих предложениях нет оснований.
В этом предложении не требуется постановка запятых.
