Соответствующее существительное отсутствует.
В этом случае также используется прописная буква: Андреевский крест.
Правильно: ни стыда ни совести.
В названиях организаций, учреждений, объединений и т. п. с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Правильно: Международная коалиция музеев совести.
Интуиция - 1. Неосознанное чувство, позволяющее постигать суть чего-л. и подсказывающее правильное поведение, решение. 2. Способность непосредственного постижения истины без обоснования с помощью доказательств (в философии).