Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Верны оба варианта, второй отличается разговорным оттенком.
Запятые расставлены верно.
Названия пустынь, выступающие в роли приложения, не склоняются: в пустыне Сахара.
Верно с запятой.
Корректно: ...на обложке его настольной книги — чеховского "Острова Сахалин".