Корректно: пара Елена Бережная и Антон Сихарулидзе.
Корректно: добавьте пользователя Антона Андреева.
Франциско Костой и Коста.
Правильно: об Антоне Павловиче Чехове.
Сочетание «фамилия + имя (+ отчество)» более характерно для списков, официальной письменной речи. Лучше порядок фамилии и имени изменить и добавить отчество.
Правильно с дательным падежом.
Верно: обучалась в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины, являюсь членом общественного объединения.
Корректная пунктуация: Антон Антонович был, несмотря на небольшие нарушения, хорошим городничим. Обороты, присоединяемые предлогом несмотря на, обычно обособляются (за исключением тех случаев, когда оборот входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу).