Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Корректны оба варианта.
Запятая между определяемым словом надежда и несогласованным определением (когда-нибудь) обрести не нужна.
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Игры назывались "Старты надежд".
Правильно: оправдать надежды, не оправдать надежд.