Отдельного слова, которое бы называло самца кукушки, в современном русском языке нет.
Корректно без кавычек: Штат садов (ср.: Город желтого дьявола, Страна утренней свежести – образные названия городов и стран не заключаются в кавычки, поэтому так же можно писать и образное название штата).
Предложение построено неудачно.
Верно: открытие четырех детских садов.
Такой способ графического сокращения возможен.
Правильное написание этого слова: здоровячок. Написание через И – орфографическая ошибка.
Корректно: система родственного ухода, в том числе в рамках деятельности школ ухода за пожилыми людьми, "детских садов" для пожилых.