Верно: российский Кавказ.
Правильно: российский производитель.
Написание со строчной: российский рубль, американский рынок. В составе собственных наименований, в названиях учреждений, организаций, обществ пишется, как правило, прописная: Российская академия наук, фильм «Американский пирог».
Верно: российский МИД.
Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).
Логичным было бы такое написание: Российский чемпионат по ралли-рейдам.
О том, чем отличаются слова русский и российский, читайте в «Словаре трудностей».