Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).

По той же причине, что и в Италии Москву называют Mosca: любые заимствованные слова, в особенности собственные имена, претерпевают изменения, осваиваются в "новом" для себя языке. Исторические преобразования слова Рим описаны в этимологическом словаре Макса Фасмера. Приводим словарную статью:

index" id="selectionindex3"> 

Рим, ри́мский, ри́млянин, укр. Рим, др.-русск., ст.-слав. Римъ ΏΡώμη (Супр.), болг. Рим, сербохорв. Ри̑м, род. п. Ри́ма, ри̑мскӣ, ри́мљанин, чеш. Řím, římský, слвц. Rím, rímsky, польск. Rzym, rzymski. Наиболее вероятно заимствование из д.-в.-н. Rȗma, гот. Rūmа "Рим", причем герм. r было субституировано мягким ŕ; см. Мi. ЕW 279; Миккола, Мém. Sос. Néophilol. 7, 278; Стендер-Петерсен 347 и сл.; Преобр. II, 203. Ср. воло́х, в фонетическом отношении – также крыжовник от *крижь: лат. сruсеm. Кроме того, при объяснении исходят из прилаг. римьскъ, которое возводят к д.-в.-н. römisk; см. Мейе, Ét. 332; Корш, Сб. Дринову 58. С др. стороны, пытаются объяснить Римъ непосредственно из лат. Rōmа через посредство таких слав. диалектов, которые уже начали утрачивать различие мягких и твердых согласных; см. Мейе, МSL 11, 178 и сл.; IF 5, 334; Мейе – Вайан 102; Богач, LF 35, 223 и сл. Не годятся в качестве параллелей далматские местн. н. Nin, Solin, Skradin из Nоnа, Sаlоnа, Sсаrdоnа, ср.-болг. Бъдынъ (совр. Видин) из Воnōniа, так как здесь представлено стар. у из народнолат. ū, вопреки Брюкнеру (AfslPh 42, 141). Невозможно фонетически объяснение из греч. ΏΠώμη (вопреки Маргулиесу (Соd. Supr. 70; AfslPh 41, 171; 42, 123 и сл.); см. Фасмер, ZfslPh 4, 411; 5, 410), поскольку греч. *ΏΠούμη нигде не засвидетельствовано. Из греч. ΏΡώμη, ῥωμαῖος происходит араб.-тур. rūmī "восточноримский, греческий", уйг. rumi "западный, римский" (Вамбери, Uigur. Spr. 229), также ст.-слав. румьскъ (Сергиевский, ИРЯ 2, 357). Не может быть также речи о кельт. посредстве, вопреки Шахматову (AfslPh 33, 96). Под влиянием греко-лат. образованности в Москве XVI–XVII вв. встречается форма Ромъ, ромлянинъ (Соболевский, Перев. литер. 288; Мартель, Мél. Воуеr 274).

index" id="selectionindex5">Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс. М. Р. Фасмер. 1964—1973.

Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.

Тире ставится во всех указанных случаях, так как подлежащее и сказуемое выражены существительными. Условий для пропуска тире нет.

Интересный вопрос. Какое-либо специальное правило, ограничивающее употребление прилагательных, образованных от названий стран, с существительными – названиями городов, нам неизвестно, да и вряд ли оно существует. Дело здесь в общей тенденции к экономии языковых средств: сочетания типа чешская Прага, итальянский Рим, французский Париж потому и выглядят странно, что они избыточны, плеонастичны: вряд ли найдется грамотный человек, не знающий, что Прага находится в Чехии, Рим в Италии, а Париж во Франции. Но чем менее известен населенный пункт, тем более оправданно употребление прилагательного; оправданно оно и в тех случаях, когда существует несколько населенных пунктов с одним и тем же названием в разных странах, например: в отличие от российской Москвы польская Москва – небольшая деревня. Поэтому ответить на Ваш вопрос можно так: явной ошибкой сочетание испанская Барселона не назовешь, но лучше всё же обойтись без прилагательного.

Выражение Камо грядеши? (лат. Quo vadis?) означает "куда идешь?". Выражение из Библии (Иоаннн, 13-36). Существует легенда о том, что апостол Петр хотел удалиться из Рима, когда император Нерон воздвиг гонение на христиан, но в воротах города он встретил Господа, идущего в Рим. Иисус на вопрос Петра: "Куда идешь, Господи?" - ответил: "Иду в Рим, чтобы снова быть распятым". Петр возвратился в Рим и принял смерть на кресте. Оборот получил известность благодаря названию русского перевода романа польского писателя Г. Сенкевича.

Пройти и Крым, и Рим (для рифмы произносится часто Рым) - то же, что пройти огонь, воду и медные трубы - многое испытать в жизни, приобрести жизненный опыт. К сожалению, происхождение оборота пройти Крым и Рим не указано в доступных нам источниках.

Правилен первый вариант.

Образование относительных прилагательных от личных имен с суффиксами -ов- (это суффикс притяжательных прилагательных) и -ск- (суффикс относительного прилагательного) - системное явление в русском словообразовании. Дело в том, что две словообразовательные модели, по которым образованы соответственно слова Багратионовский и Бауманский (с притяжательным суффиксом и без него), являются конкурирующими. Да, в языке тоже есть конкуренция! Следует заметить, что названия городов обычно не могут образовывать относительные прилагательные с суффиксом -ов- (например, от слова Рим - римский, а не римовский; Кострома - костромской, а не костромовский). Ср. также: вашингтоновский (от фамилии Вашингтон), но вашингтонский (от Вашингтон, город); вашингтоновская эпоха, но вашингтонские газеты.

По основному правилу тире не ставится, так как перед сказуемым стоит отрицательная частица не.