Спряжение в широком смысле – это изменение глагола по наклонениям, временам (в изъявительном наклонении), лицам (в настоящем и будущем времени), числам и  родам (в прошедшем времени и сослагательном наклонении).

Спряжение в узком смысле – это изменение исключительно по лицам и числам. Узкое понимание спряжения более традиционно и находит отражение в классификации глаголов по типам спряжения.  Именно при изменении по лицам и числам у глаголов появляется два разных набора личных окончаний, поэтому и спряжений два: первое (I) и второе (II).

Школьной грамматике (как и многим лингвистам) свойственно узкое понимание. Широкое – это скорее формообразование глагола. И кстати, в него логично включать образование форм причастий и деепричастий, поскольку все репрезентации глагола используют две формообразующие основы и разные аффиксы.