Правильно: из всех районов.
О склонении географических названий см. в Письмовнике.
Ответить сможет только сам обладатель фамилии.
Нужно их склонять.
После ж следует писать и: Суджи.
Предложение составлено верно.
См. в «Письмовнике».
Да, это деепричастие, на это указывает и суффикс, и вопрос, и синтаксическая роль слова в предложении.