Оба варианта верны, разница в стилистической окраске. Слово сковорода стилистически нейтральное, сковородка – разговорное.
Корректно раздельное написание.
Да, запятую после слова проверить необходимо поставить.
Правильно здесь: ни распределили.
Такая пунктуация возможна.
Правильно: искренний, искренна, искренне и искренно, искренни и искренны.
Запятая ставится. Одет в пиджак – неудачный вариант, лучше: на нем был пиджак.