Да, эта фамилия всегда склоняется. Правила см. в работе Н. А. Еськовой.
Такая проверка некорректна! Слова рябина и рябь нельзя считать однокоренными, несмотря на этимологическое родство.
Указанные слова - словарные, написание проверяется по словарю.