Приложение капитан 1 ранга, обозначающее воинское звание, не однородно приложению, обозначающему должность (см. параграф 42 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), поэтому в предложении не требуются знаки препинания: Начальник АХТО Аркадий Тимофеевич Иванов и начальник отдела военно-политического управления Балтийского флота капитан 1 ранга Артём Валерьевич Петров высказались о важности проводимого мероприятия.

Запятая нужна. Но лучше перестроить предложение, например, так: Определить, сколько времени проводится в социальной сети.

Верно написание с большой буквы: Арбузник, к Пасхе, к Рождеству.

В приведенной фразе требуется постановка запятой перед причастным оборотом, начинающимся словами проводимого по плану.