Возможны оба варианта, но с разными оттенками значения. В значении 'отнюдь не весело, вовсе не весело' – раздельно. В значении 'совершенно, очень невесело' – слитно.
Корректно: провести проверку.
Оба варианта верны.
Верно: на славу.
В любом случае весело не может быть глаголом. В приведенных примерах можно считать это слово предикативом.
АЙДА. [тат. айда]. Разг. I. межд. Употр. как решительный призыв, приглашение отправиться куда-л. Ребята, а. за яблоками! А., мужики, домой. II. нареч. в функц. сказ. Обозначает быстрое перемещение куда-л. Сел на машину - и а. в город! Наберём полные карманы каштанов - и а. обратно.
Да, это предложение. На вопрос «Почему?» в школе обычно отвечают так: оно содержит законченную мысль, выражает сообщение. В науке предложение определяется прежде всего через понятие предикативности. Весело теплой весной – предложение, т. к. содержит предикативную основу, обладающую значением времени и реальности происходящего.
