Правильно: притоки р. Иртыш. Приложения – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (река – женского рода, Иртыш – мужского). Ср.: притоки р. Волги.
Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: приток Зигана, но приток реки Зиган.
К сожалению, словарной фиксации найти не удалось.
Вы правы, фраза стилистически неудачна.
См. в Справочнике по фразеологии.
Правильно: притчами.