В принципе, можно, но нужно смотреть по контексту.
Если логическое ударение на врач, никакие знаки препинания не нужны. Если логическое ударение на сделать прививки и не паниковать, можно оформить это предложение как содержащее прямую речь: «Сделать прививки и не паниковать», – посоветовал врач.
Можно поставить тире, но с запятой тоже верно.
Действительно, двоеточие и тире позволяют акцентировать причинно-следственные отношения. Но и запятая здесь вполне органична.