Обе формы сказуемого возможны.
Верно: осуществляя руководство постоянно действующей группой.
Это наречие образовано от прилагательного постоянный, в котором -нн- - суффикс отглагольного прилагательного (этимологически - от глагола постоять + НН).
Верно раздельное написание.
Запятая ставится.
Следует поставить запятую или тире.
Правильно: отключат.