Корректно: постоянный зритель ваших эфиров. Конструкция постоянный зритель на ваших эфирах возможна, если речь идет о человеке, который присутствует в зале непосредственно во время записи телепередачи.
Возможны оба варианта.
Это имя прилагательное.
Двойное Н пишется в словах с беглым е между нн, например: беспрестанный (ср.: беспрестанен), благоуханный (ср.: благоуханен) и так далее. Аналогично: постоянный (т. к. здесь тоже беглый е: постоянен).
Корректно раздельное написание.
Тире нужно.
В слове постоянный корень -сто- (см. «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой). Проверочные слова есть: например, стой.
Особенный образовалось от прилагательного особый с помощью суффикса отыменных прилагательных -енн-.
Постоянный пишется с нн по следующему правилу: двойное н пишется в словах с беглым е между нн, ср.: беспрестанный (беспрестанен), блаженный (блажен и блаженен).
См.: Бешенкова Е. В., Иванова О. Е., Чельцова Л. К. Объяснительный русский орфографический словарь-справочник. М., 2015.
