Правильно: прошла половина лета.
Предпочтителен первый вариант.
Верно: половина людей уверена.
Поговорка - краткое устойчивое выражение, преимущественно образное, не составляющее, в отличие от пословицы, законченного высказывания. Поясним на примере. Пьяному море по колено - поговорка. Пьяному море по колено, а лужа по уши - пословица.
Сочетание последная половина о веке, годе употреблялось в прошлом, сейчас привычно вторая половина.
Возможны оба варианта.