Правильно: бойцы ОМОНа.
Возможны оба варианта. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича и Л. П. Катлинской (М., 2008) аббревиатуру ОМОН рекомендует склонять, а «Словарь сокращений современного русского языка» Г. Н. Скляревской (М., 2004) фиксирует слово в двух вариантах — как склоняемое и в официальной речи несклоняемое.
Правильно: скорая помощь, машина скорой помощи, станция скорой помощи.
Корректно: боец ОМОНа, сотрудник МУП. Подробнее см. в «Письмовнике».
Это слово среднего рода. Род аббревиатуры определяется по опорному слову (министерство).
Предпочтительно: не оказавший помощи врач.
Такая форма корректна.