Обычно используют выражения дать старт (чему-либо), но положить начало (чему-либо).
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста.
Пишется в кавычках: полигон "Кучино".
Предложение построено верно.
В песне? В какой?
Такой порядок слов («Левобережный» мусорный полигон) выглядит довольно искусственным.