Правильно: подписать договОры.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Варианты двухребордный и двуребордный пока что не получили словарной фиксации. Теоретически возможны оба варианта, нужно выбрать более частотный и уважаемый соответствующими специалистами.
Правильно: подписать (несколько, ряд, папку) счетов-фактур.
Правильный второй вариант.
Тетрадь Кузина Данилы.
Эта мужская фамилия склоняется: ученика Габеркорна Артёма.
В подписи верно: Игорь, риелтор.
Можно сказать, что это суффиксальное образование от "подпереть".