Правильно: официальная поддержка (чего?) мероприятия. Но: оказать поддержку (чему?) мероприятию.

Правильно: ФАО предоставила 7000 семей продовольственную помощь (существительное тысяча управляет родительным падежом существительного семья); В рамках инициативы была оказана поддержка 17 сетям НПО (числительное семнадцать согласуется с существительным сеть). Подробнее см. в «Письмовнике».

Корректно слитное написание, но все же лучше переформулировать: поддержка участников после выставки (по завершении выставки).

Оба варианта верны, выбор может зависеть от контекста.

Нет, в таком высказывании содержится ошибка лексической сочетаемости. 

Здесь нет ни слова о бесплатности услуги.

Возможны оба варианта: техподдержка и тех. поддержка.

Сказуемое следует поставить в форму множественного числа: очень важны.

Корректно: страны — участницы БРИКС, страны БРИКС. 

Заколебать – жаргонное слово, идиот – бранное (кроме случаев терминологического использования в медицинском контексте). Если относить к ненормативной лексике всё, что остается за пределами литературного языка (жаргон, просторечия, брань), то заколебать и идиот являются такими словами. Но к матерным словам (часто под ненормативной лексикой понимают только мат) они не относятся.