Корректно: мне остается только плакать как ребёнок. 

В словарях и в Национальном корпусе русского языка это наречие отсутствует, но оно вполне может быть образовано как выразительное средство в разговорной или художественной речи по аналогии с наречиями вкрутую, вдолгую, в открытую и т. п. 

Запятая не нужна. 

Определительный оборот осложнен обстоятельственным значением, поэтому обособляется.

Запятая перед чтобы нужна.

В обоих случаях требуется тире. Обратите внимание, что верно: пусть смеется надо мной.

Кавычки не требуются.

Пунктуация верна.

Несмотря на отсутствие интонационной паузы, нужно поставить запятую после вводного слова возможно.

Нет, здесь разные чередования. В первом случае, вероятно, Т - Щ (ср.: платок; но это сближение историки языка считают "темным"), во втором К - Ч (ср.: плакать).