Да, именно так. Склоняется и мужская, и женская фамилия.

Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.

Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.

Да, эта фамилия склоняется.

Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.

Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.

Правильно: цибуля.

Да, такие фамилии склоняются.

У В. Пикуля: «То романеи тебе шлют, то горшочек мазули с шафраном...». Романея – так в допетровской Руси называли привозившееся из-за границы виноградное вино высокого качества, романея также – старинное название сладкой настойки на заграничном вине. Мазуля – то же, что размазня, т. е. жидкая каша.

Между частями сложного предложения запятая не нужна, так как части объединены общим обстоятельством вчера.

Фамилии склоняются по первому склонению: Пикулы, Пикуле, Пикулу, Пикулой, о Пикуле.