Слово написано верно.
Правильно: нет печений, варений, солений.
В значении 'печень животного как пища' слово печёнка не является разговорным и вполне может употребляться в кулинарных книгах. Печёнка – разговорное слово при употреблении в значении 'печень как орган' (печёнка заболела вместо стилистически нейтрального печень заболела) и в значении 'внутренности вообще' (отшиб все печёнки).
Верно: овсяное печенье.
После ж, ч, ш, щ пишется ё в тех корнях русских слов, где на месте ударного звука [о] после шипящих (печёнка) оказывается безударный (пе́чень). Ср. также: жёны — женá, щёлкнуть — щелчóк, щётка — щети́на.
Да, эта мужская фамилия склоняется: Иван Печень, Ивана Печеня, Ивану Печеню, Ивана Печеня, Иваном Печенем, об Иване Печене. Женская фамилия несклоняема.