Нужно поставить тире.
Пунктуация верна.
Ваш вариант пунктуационного оформления корректен.
Перед частицей так, стоящей между повторяющимися словами, запятая не ставится.
Литературный вариант: бдеть (=бодрствовать), он бдит. Соответственно, производное - перебдеть.